Δυναμική προσέγγιση των πρώτων αριθμών

Ν. Λυγερός

Ενώ ο ορισμός των πρώτων αριθμών είναι κατανοητός και μάλιστα με εύκολο τρόπο, η δυσκολία των προβλημάτων που παράγουν είναι απρόσμενη. 

Η κατανομή των πρώτων αριθμών σχετίζεται με την εικασία του Riemann.

Το άθροισμα των πρώτων αριθμών σχετίζεται αντίστροφα με την εικασία του Goldbach. 

Οι διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί αποτελούν την εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών. 

Οι διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί σε αριθμητική πρόοδο προβλέπονται από την ενισχυμένη εικασία του Hardy. 

Βλέπουμε λοιπόν ότι ο συνδυασμός πρώτων αριθμών οδηγεί γρήγορα σε προβλήματα που δεν ξέρουμε ακόμα να λύνουμε. 

Έτσι οι πρώτοι αριθμοί έχουν αποκτήσει μια θεμελιακή θέση στη θεωρία αριθμών από τότε που ο Ευκλείδης απόδειξε ότι είναι άπειροι σε πλήθος. 

Όλο αυτό το πλαίσιο ενίσχυσε δυναμικά τη δράση των ηλεκτρονικών υπολογιστών σε αυτόν τον τομέα. 

Η αλγοριθμική έρευνα των πρώτων αριθμών οδήγησε στη μελέτη των μεγάλων πρώτων αριθμών. 

Έτσι βρεθήκαμε στην κατάσταση της έρευνας μεγάλων αριθμών, οι οποίοι είναι υποψήφιοι ως πρώτοι αριθμοί. 

Η δυσκολία εμφανίζεται σε αυτό το επίπεδο, διότι εξαντλητικοί μέθοδοι του τύπου του κόσκινου του Ερατοσθένη δεν επαρκούν για να αποδείξουν ότι αυτοί οι υποψήφιοι είναι όντως πρώτοι αριθμοί. 

Η έρευνα σε αυτόν τον τομέα άλλαξε φάση με το λεγόμενο πιστοποιητικό που αποδεικνύει την ιδιότητα. Εδώ και πάλι δημιουργήθηκαν διάφορες μέθοδοι μεταξύ άλλων και η μέθοδος των ελλειπτικών καμπυλών. 

Με αυτόν τον τρόπο αποδείξαμε το 1998 ότι ανακαλύψαμε με τους H. Dubner, T. Forbes, M. Mizony, H. Nelson και P. Zimmermann, δέκα διαδοχικούς πρώτους αριθμούς σε αριθμητική πρόοδο (βλ Opus), αποτέλεσμα που αποτελεί ακόμα και τώρα παγκόσμιο ρεκόρ. 

Και το 1999 με τον M.Mizony βρήκαμε ένα παράγοντα 54 ψηφίων που αποτέλεσε τότε το παγκόσμιο ρεκόρ της εποχής για την μέθοδο ελλειπτικών καμπυλών (βλ. Opus). 

Στο μεταξύ από το 1988 μέσω του J.-P. Serre μελετούσαμε την συνάρτηση του Ramanujan για ν' ανακαλύψουμε την έκτη λύση μίας ιδιόμορφης ισοδυναμίας, δεν είχαμε όμως την απαραίτητη υπολογιστική ισχύ για να πετύχουμε τον στόχο μας. 

Μόνο μετά από 22 χρόνια καταφέραμε με τον O. Rozier να σπάσουμε αυτό το ρεκόρ (βλ. Opus). 

Η δυσκολία όμως των πρώτων αριθμών προέρχεται κι από το μέγεθος. 

Σε αυτόν τον τομέα υπάρχει κι ειδική ορολογία του Yates. 

Έτσι ένας πρώτος αριθμός που έχει περισσότερα 1000 ψηφία ονομάζεται τιτανικός πρώτος αριθμός.

Ένα τέτοιο αριθμό ανακαλύψαμε το 2011 με τον O. Rozier ο οποίος είχε 1822 ψηφία. 

Ενώ ένας πρώτος αριθμός που έχει περισσότερα από 10.000, ονομάζεται γιγαντιαίος πρώτος αριθμός. 

Και για περισσότερα από ένα εκατομμύριο ψηφία, έχουμε τους μέγα πρώτους αριθμούς. 

Από αυτούς τους τελευταίους αριθμούς γνωρίζουμε ελάχιστους κι είναι όλοι πρώτοι αριθμοί του τύπου Mersenne. 

Η δυσκολία της εύρεσης τους απαιτεί χιλιάδες υπολογιστές που λειτουργούν ως ένα πλέγμα για τον ίδιο σκοπό. 

Σε αυτό το επίπεδο δεν υπάρχουν μόνο οι δυσκολίες των μαθηματικών και της πληροφορικής αλλά και της διαχείρισης του όλου συστήματος. 

Με άλλα λόγια έχουμε τη δυνατότητα να βρούμε μεγάλους υποψήφιους πρώτους αριθμούς, δίχως να έχουμε απαραίτητα, τουλάχιστον προς το παρόν, την απαιτούμενη υπολογιστική ισχύ, για να το αποδείξουμε σε ένα εφικτό χρονικό διάστημα. 

Για αυτό το λόγο είναι απαραίτητη πλέον η δυναμική προσέγγιση των πρώτων αριθμών, διότι η κλασική προσέγγιση τα όρια της ακόμα και με ειδικές περιπτώσεις διότι η ποσότητα αλλοιώνει την ποιότητα και προκαλεί μια αλλαγή φάσης. 

πηγη